En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:

• $Domf= \Re$ Hallemos los ceros: $f(x)=0$ $0 = 6e^{x+2} - 5$

$5 = 6e^{x+2}$

$\frac{5}{6} = e^{x+2}$ Aplicamos logaritmo natural de ambos lados: $\ln(\frac{5}{6}) = x + 2$ $x = \ln(\frac{5}{6}) - 2$ • $C^{0} = \ln(\frac{5}{6}) - 2$

Hallemos la imagen: Para encontrar la imagen de $f(x)$, vamos a calcular los límites de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $\infty$ y $-\infty$:   

$\lim_{x \to +\infty} (6e^{x+2} - 5) = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} (6e^{x+2} - 5) = 6 \cdot 0 - 5 = -5$ • $Imf = (-5, \infty)$ Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: La función es positiva cuando $f(x) > 0$ y negativa cuando $f(x) < 0$. Al saber que hay un cero en $x = \ln(\frac{5}{6}) - 2$, podemos determinar que la función es negativa para $x$ menores que $\ln(\frac{5}{6}) - 2$ y positiva para $x$ mayores que $\ln(\frac{5}{6}) - 2$ debido a la naturaleza creciente de la función exponencial $e^{-x}$. (Si vos querés podés hacer Bolzano también, como prefieras). • $C^{+} = (\ln(\frac{5}{6}) - 2, \infty)$ • $C^{-} = (-\infty, \ln(\frac{5}{6}) - 2)$  

 

Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando $x$ tiende a -infinito y + inifnito: La asíntota horizontal se encuentra al evaluar los límites de $f(x)$ cuando $x$ tiende a infinito y a menos infinito (cosa que ya hicimos antes). Como la función tiende a infinito cuando $x$ tiende a infinito y tiende a -5 cuando $x$ tiende a menos infinito, la línea $y = -5$ es la asíntota horizontal: • Hay AH en $y = -5$