En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:

• $Domf= \Re$ Hallemos los ceros: $f(x)=0$ \( 0 = 6e^{x+2} - 5 \)

\( 5 = 6e^{x+2} \)

\( \frac{5}{6} = e^{x+2} \) Aplicamos logaritmo natural de ambos lados: \( \ln(\frac{5}{6}) = x + 2 \) \( x = \ln(\frac{5}{6}) - 2 \) • $C^{0} = \ln(\frac{5}{6}) - 2$

Hallemos la imagen: Para encontrar la imagen de \( f(x) \), vamos a calcular los límites de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) y \( -\infty \):   

\( \lim_{x \to +\infty} (6e^{x+2} - 5) = \infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} (6e^{x+2} - 5) = 6 \cdot 0 - 5 = -5 \) • $Imf = (-5, \infty) $ Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: La función es positiva cuando \( f(x) > 0 \) y negativa cuando \( f(x) < 0 \). Al saber que hay un cero en \( x = \ln(\frac{5}{6}) - 2 \), podemos determinar que la función es negativa para \( x \) menores que \( \ln(\frac{5}{6}) - 2 \) y positiva para \( x \) mayores que \( \ln(\frac{5}{6}) - 2 \) debido a la naturaleza creciente de la función exponencial \( e^{-x} \). (Si vos querés podés hacer Bolzano también, como prefieras). • $C^{+} = (\ln(\frac{5}{6}) - 2, \infty) $ • $C^{-} = (-\infty, \ln(\frac{5}{6}) - 2)$  

 

Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando $x$ tiende a -infinito y + inifnito: La asíntota horizontal se encuentra al evaluar los límites de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a infinito y a menos infinito (cosa que ya hicimos antes). Como la función tiende a infinito cuando \( x \) tiende a infinito y tiende a -5 cuando \( x \) tiende a menos infinito, la línea \( y = -5 \) es la asíntota horizontal: • Hay AH en $y = -5$