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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
En cada caso hallar dominio, imagen, ceros, conjuntos de positividad y de negatividad y dar la ecuación de la asintota horizontal de $f$. Graficar.
c) $f(x)=6 e^{x+2}-5$
c) $f(x)=6 e^{x+2}-5$
Respuesta
En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:
• $Domf= \Re$
Identifiquemos si se trata de una función exponencial creciente ($a>0$) o decreciente ($0<a<1$):
La función $f(x)=e^{x+1}$ tiene base $e \approx 2,71..$. Es decir que la función va a ser del tipo creciente.
-> Hallemos los ceros:
$f(x)=0$
$0 = 6e^{x+2} - 5$
$5 = 6e^{x+2}$
$\frac{5}{6} = e^{x+2}$
Aplicamos logaritmo natural de ambos lados:
$\ln(\frac{5}{6}) = x + 2$
$x = \ln(\frac{5}{6}) - 2$
• $C^{0} = \ln(\frac{5}{6}) - 2$
-> Hallemos la imagen:
Observando la función, vemos que hay un valor restando a la porción exponencial, y eso nos indica que su imagen va a comenzar en -5. Hay una traslación de la gráfica $e^{-x}$ de cinco unidades hacia abajo. Sabiendo que la función es decreciente, podemos decir que:
• $Imf = (-5, \infty) $
Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:
Al saber que hay un cero en $x = \ln(\frac{5}{6}) - 2$, y dada la forma decreciente de la función, podemos determinar ésta es negativa para $x$ menores a $\ln(\frac{5}{6}) - 2$ y positiva para $x$ mayores a $\ln(\frac{5}{6}) - 2$. (Si vos querés podés hacer Bolzano también, como prefieras).
• $C^{+} = (\ln(\frac{5}{6}) - 2, \infty) $
• $C^{-} = (-\infty, \ln(\frac{5}{6}) - 2)$
-> Hallemos la asíntota horizontal:
Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando $x$ tiende a -infinito y + inifnito, considerando que la función es creciente:
· Cuando $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} 6e^{x+2} - 5 = 6e^{+\infty} - 5 = +\infty - 5 = +\infty$
· Cuando $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} 6e^{x+2} - 5 = 6e^{-\infty} - 5 = 0 - 5 = -5$
• Hay AH en $y = -5$
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